Iskolás korában focista akart lenni, de gyermekkori barátja, Szusza Ferenc játéka láttán rádöbbent, hogy jobb, ha meghagyja a pályát a tehetségesebb játékosoknak, és ő inkább a pálya széléről kommentálja az eseményeket.
Dolgozott textilgyárban, volt inas és esztergályos, de végül mikrofont ragadott, és úgy tűnik, hogy jól döntött.
Szepesi a Testnevelési Főiskola elvégzése után a Magyar Rádióban dolgozott, majd a szórakoztató és sportfőosztály vezetője lett.
1978-1986 között az MLSZ elnöke, 1982-1994 között pedig a FIFA vezetőségének tagja volt.
15 olimpiáról tudósított, és több ezer meccset, eseményt közvetített.
Az első közvetítése 1943-ban, azaz 74 évvel ezelőtt volt, és ezzel a teljesítményével bekerült a Guinness Rekordok Könyvébe – ö lett a legrégebb óta beszélő riporter.
A legnagyobb elismerés az volt, amikor a legendás Aranycsapat a tizenkettedik játékosának választotta őt. A leghíresebb pillanat kétségkívül az 1953. november 25-i, az évszázad mérkőzése néven elhíresült magyar–angol 6:3-as meccs, amelyen a magyarok legyőzték az otthonában 90 éve veretlen Angliát.
2018. július 25-én virradóra, 96 éves korában rövid szenvedés után hunyt el.

Fontosabb elismerései:
NOB Olimpiai Érdemrend ezüst fokozat – 1995
A Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje – 2005
A Magyar Sportszövetség Életműdíja – 2011
2015. május 24-én a FIFA-érdemrend